Есть ящик на mail.ru. Пользовался им без почтовой программы, т.е. все письма хранились там, и полученные и отправленные. Можно ли Bat настроить так, чтобы он скачал всё содержание папки "отправленные"?

...диспетчер писем.... исчем мануал и читаем!

так что в диспетчере то? в нём заголовки всех входящих. Отправленных нету...

К сожалению, ничего не получится сделать автоматом. Как вариант - переслать все письма из папки Sent и руками перекинуть их в соответствующую папку The bat. Можно облегчить работу, создав папку с именем SentMail в TheBat и назначить на неё правило сортировки.